APPENDIX  2

ver.2 με συμπλήρωση  "COUP DE GRACE" 6/6/2008

ΝΟΜΟΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΗ

Α. Γιά δυνάμεις εξ'επαφή. 
Εχουμε F₁₂ = -F₂₁ , t₁=t₂ , S₁=S_2.  έχουμε  F₁₂ =  m₂γ₂  F₂₁ =  m₁γ₁ , m₂γ₂  = - m₁γ₁, m₂γ₂dt₂ = - m₁γ₁dt₁ , m₂dv₂ = - m₁dv₁ , το οποίο σημαίνει την διατήρηση τς ορμής. Ομοίως από F₁₂ = -F₂₁ συνεπάγεται F₁₂dS₁ = -F₂₁dS₂ που σημαίνει το έργο που δίδει το ένα σώμα είναι ίσο με το έργο που παίρνει το άλλο και αυτό μόνο διά δυνάμεις εξ' επαφής γιά τις οποίες S₁=S₂ .

 
Β. Γιά δυνάμεις εξ' αποστάσεως.

ΤΙΜΗ ΣΤΟΝ ΦΙΛΟ ΜΟΥ ΚΑΙ ΑΓΝΟΟΥΜΕΝΟ ΣΤΕΦΑΝΟ ΜΑΡΙΝΟΥ - STEFAN MARINOV ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΚΑΙ ΦΙΛΟΥ LEON DRAGONE ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΑΠΡΟΣΟΚΙΤΗ ΑΠΩΛΕΙΑ ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ
 

Στά συνήθη βιβλία, η περίπτωση αυτή εξετάζεται μέσω της θεωρίας πεδίου. Η θεωρεία πεδίου γιά την περιπτωσή μας θα ήταν μία "βολική" και ουσιαστικά μία ειδική περίπτωση που ισοδύναμη με ένα των αλληλεπιδρόντων σωμάτων να έχει m= άπειρον και να παραμένει αδρανειακά ακίνητο. Το πεδίο θα θεωρείτο ακίνητο και θα αγνοείτο η αντίδραση σε αυτό!  Εμείς εδώ δεν θα εξετάσομε την ειδική αυτή περίπτωση των πεδίων "συγκάλυψης" γιά την οποία δεν παρουσιάζεται τίποτα το αξιοπερίεργο γιά την διατήρηση του έργου και της ενέργειας. Θα δούμε η διατήρηση της ενέργειας δεν ισχύει γιά δυνάμεις εξ' αποστάσεως και γιά τις οποίες δεν είναι ισχύει  S₁=S₂  !  
 

Πράγματι έχουμε F₁₂ = -F₂₁ διά κοινές δράσεις εξ' αποστάσεως, από ελεύθερο σώμα 1 σε ελεύθερο σώμα 2, με t₁ = t₂ = t , F₁₂ =  m₂γ₂ = -m₁γ₁ = -F₂₁, άρα m₂γ₂dt = -m₁γ₁dt, άρα m₂dv₂ = -m₁dv₁ , που σημαίνει προσδίδεται η ίδια ορμή, όπως δείξαμε παραπάνω και άρα διά ολοκληρώσεως m₂v₂ = -m₁v₁ + C,  όπου C σταθερά που ταυτίζουμε με την σταθερή ολική ορμή P, αρα m₂v₂dt = -m₁v₁dt + Pdt άρα m₂ds₂ = -m₁ds₁ + Pdt, και άρα ds₂  διαφορετικό του ds₁ και έστω ds₁>ds₂  , τότε F₁₂ds₁> -F₂₁ds_2, 
 

 Άρα από το ελεύθερο σώμα 1 στο ελεύθερο  σώμα 2, με διαφρετικές μάζες και διαφορετικές αρχικές ταχύτητες, δεν μεταφέρεται εξ αποστάσεως το ίδιο έργο. Στο σώμα με μεγαλύτερο S αντιστοιχεί μεγαλύτερο έργο από το έργο που αντιστοιχεί από το άλλο με μικρότερο S.
Πράγματι γιά απευθείας υπολογισμού των ds έχουμε, από F₁₂ =  m₂γ₂ = -F₂₁ = - m₁γ₁ , υποχρεωτικά την σχέση 1/2m₂γ₂(dt)² = -1/2m₁γ₁(dt)², άρα παραλείποντας τις μάζες m, προκύπτει το 1/2γ₂(dt)² διάφορο από το 1/2γ₁(dt)² .
 

Είναι πάντοτε ds₁ = v₁dt + 1/2γ₁(dt)² και ds₂ = v₂dt + 1/2γ₂(dt)², τα οποία είναι διαφορετικά σαν άθροισματα το καθένα διαφορετικών ποσοτήτων.

Αρα εν γένει, η αλληλεπίδραση εξ'αποστάσεως δύο ελευθέρων σωμάτων με διαφορετικές μάζες και διαφορετικές αρχικές ταχύτητες, το ds₁ είναι διάφορο του ds₂ και άρα F₁₂ds₁ διάφορο του -F₂₁ds₂ , (εφόσον πάντοτε F₁₂= -F₂₁), Αρα το αλληλομεταβιβαζόμενο έργο δεν είνι μηδέν, όπως θα περίμενε κανείς. ή το έργο δεν διατηρείται.
Θεώρημα Παναγιώτου Παππά της 1ης Μαΐου 2008.

Γ. Παράδειγμα.  Εστω δύο σώματα αλληλοαπωθούμενα εξαποστάσεως, το ένα να πλησιάζει το άλλο από μεγάλη απόσταση, η δε άπωσή τους απειρίζεται σε περίπωση που η απόστασή τους μηδενίζεται, με M>>m, και V>>0,   u=0, και MV>>mu. Ανά πάσα στιγμή  F₁₂ = Mdv/dt= -mdv/dt = -F₂₁ ή Mdv = -mdu  όπερ και αποτελεί την αρχή της διατήρησης της ορμής, δηλαδή η συνολική αποκτηθήσα στιγμιαία ορμή είναι μηδέν. Γιά την διατήρηση της ενέργειάς (χωρίς την υπόθεση δυναμικών και δυναμικής ενέργειας συνδέσεως), θα πρέπει Δ (1/2Mv²   ) =? -Δ (1/2mu² ),  2x1/2Mvdv =?  -2x1/2mudu,  και άρα  v = u, ανά πάσα στιγμή, όπερ και άτοπον, σε σχέση με την αρχική συνθήκη, v >> u = 0.

Δ. Με δυναμική ενέργεια συνδέσεως γιά το παραπάνω παράδειγμα. Εστω η σταθερή αρχική ορμή MV =Mv + mu, ίση με την μετέπειτα ορμή των δύο αλληλεπιδρόντων σωμάτων  και η αρχική σταθερή ενέργεια 1/2MV² = 1/2Mv² + 1/2mu²  + Ε(x) ίση με την μετέπειτα κινητική ενέργεια αυτών συν την δυναμική ενέργεια συνδέσεως E(x)>0 γιά το παραπάνω παράδειγμα απωστικών δυνάμεων, η οποία τείνει στο 0, όταν το x τείνει στό άπειρο.   Απαλείφοντας το V, έχουμε την μετέπειτα σχέση γιά τα v και u:  

v = 1/2 u(1-m/M) +E(x)/um. Διαφορίζοντας την σταθερή ορμη και σταθερή ενέργεια, έχουμε αφενός 0 = Μdv+mdu ή
Μdv= - mdu και αφετέρου 0 = 2x1/2Μvdv +  2x1/2mudu  + dΕ(x).  Αρα Μvdv = -  mudu - dE(x), άρα  v = u + (1/m)dE(x)/du.

Από την προηγουμένη σχέση των v, u, έχουμε vu =1/2 u²(1-m/M) +E(x)/m, παραγωγίζοντας ως πρός u:
(dv/du)u + v =u(1-m/M) +(1/m)dE(x)/du, έτσι έχουμε δύο σχέσεις γιά τα v και u, αφαιρόντας αυτές  έχουμε:

(dv/du)u = -(m/M)u, το οποίο σημαίνει dv/du = -m/M, το οποίο συνεπάγεται Mdv = -mdu, το οποίο και ισχύει γιά ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ δυναμική συνάρτηση ενεργείας E(x), (Ε(x))²,  κλπ άλλη αυθαίρετο K(x)>0 συνάρτηση δυναμικού.
Το σώμα Μ αρχικά θα επιβραδύνεται, ενδεχομένως ηρέμηση και αναστρέψει την κινησή του, ενώ το σώμα m συνεχώς θα επιταχύνεται χωρίς ηρεμία και αναστροφή. 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:

Επεξήγηση: Με Int(0,t; γ₁dt) συμβολίζομε το ολοκλήρωμα από 0 έως t του γ₁dt το οποίο γράφουμε και γ₁*t, υπονοώντας πάντοτε με το συμβολισμό αυτό, ότι ένα τέτοιο ολοκλήρωμα είναι πάντοτε μία γενίκευση ενός πολλαπλασιασμού, όταν ο πολλαπλασιασμός αυτός δεν είναι σταθερός, όπως η παράγωγος είναι μία γενίκευση ενός πηλίκου, όταν το πηλίκο αυτό δεν είναι σταθερό, βλέπετε παραδώσεις Καθηγητού Παναγιώτου Παππά, πιό πάνω. Το t πρακτικά είναι το άπειρο, μια που το Int(0,t; γ₁dt) εκφράζει τηεν τελική ταχύτητα. Ο συμβολισμός αυτός γίνεται και έτσι γιά να εξασφαλισθεί και η αναγνωσιμότητα από τα περισσότερα computer του διαδικτύου.

1. Μαθηματική Ανάλυση και Διερεύνηση
Δύο αλληλοαπωθουμένων σωμάτων που πλασιάζει το ένα το άλλο απο πολύ μακρυα, με γιά το 1: μάζα M, αρχική ταχύτητα V, γιά το 2: μάζα m, αρχική ταχύτητα 0 και M>m.

 
Ας υποθέσωμεν την διατήρηση της ενέργειας αρχικά  και μετά τα δύο αλλήλο-απωθούμενα σώματα απομακρυνθούν αρκετά, έτσι που πρακτικά να μηδενισθεί το δυναμικό συνδέσεώς των, δηλαδή, η αρχική ενέργεια 1/2MV²   = 1/2M(V- γ₁*t)² +1/2m(γ₂*t)² , ισούται με την μετέπειτα κινητική ενέργεια των δύο σωμάτων, εξ. ΚΕ, όπου  γ₁*t ορίζουμε το ολοκλήρωμα = Int(0,t; γ₁dt),  και γ₂*t = Int(0,t; γ₂dt) = (M/m)γ₁*t, κάνοντας πράξεις έχουμε: 1/2MV² = 1/2MV²  + 1/2M(γ₁*t)² - MV(γ₁*t) +1/2(M^2//m)(γ₁*t)²

και από αυτήν την σχέση  V = 1/2(γ₁*t) + 1/2(M^//m)(γ₁*t), και τελικά από την τελευταία σχέση προσδιορίζεται το ολοκλήρωμα  γ₁*t = 2V/(k +1) =:(εξ' ορισμού)=(V_Σ   +  V_A),  με k=M/m, και άρα γ₁*t < V, εφόσον M>m, πάντα μικρότερο από την αρχική ταχύτητα του Μ.
Γιά το Μ προσδιορίζεται τελική ταχύτητα V- γ₁*t = V - 2V/(k +1) = V(k-1)/(k+1) και γιά το σώμα m τελική ταχύτητα  γ₂*t= 2kV/(k+1) , και άρα γ₂*t > V, και άρα  το σώμα Μ, εφόσον Μ>m, ποτέ δεν ηρεμεί έχοντας τελική ταχύτητα V(k-1)/(k+1), και τα δύο σώματα αρχικά πλησίαζαν με V, τελικά όμως συνεχώς απομακρύνονται με σχετική και σταθερή ταχύτητα 2kV/(k+1) - V(k-1)/(k+1) = V,
δηλαδή  με την ίδια αρχική ταχύτητα V που πλησίαζαν.
Οι τελικές αυτές τιμές βρέθηκαν σαν λύσεις της εξ. ΚΕ και πραγματικά επαληθεύουν την εξ. ΚΕ, χωρίς να προσθέτουν καμία νέα πληροφορία στο θέμα μας.
Ενα φαινομενικό πλεονέκτημα της ταυτολογίας αυτής (αυτοαναφερόμενου φαύλου κύκλου) ήταν να μας δοθεί μία εκτίμηση της τιμής του δύσκολου πράγματι ολοκληρώματος γ₁*t = 2V/(k +1), χωρίς τον πραγματικό υπολογισμό του και χωρίς την διασταύρωση της τιμής του με ανεξάρτητα δεδομένα.

Η εκτίμηση αυτή είναι τόσο σωστή, όσο πραγματικά σωστή είναι η αρχή της "διατήρησης της ενέργειας", που κατά αυτό τον τρόπο δεν επαληθεύεται, αλλά και ούτε διαψεύδεται και δεν αποδεικνύεται τίποτα.

Ισως για αυτήν την ευκολία του φαινομενικού ψευτο-υπολογισμού του ολοκληρώματος γ₁*t και γ₂*t , η αρχή της "διατήρησης της ενέργειας" έγινε τόσο δημοφιλής. Άλλωστε, η αρχή της "διατήρησης της ενέργειας" θεωρείται σαν τό δεύτερο ολοκλήρωμα της κινήσεως. Το πρώτο ολοκλήρωμα θεωρείται η αρχή της "διατήρησης της ορμής", το οποίο όμως ανεξάρτητα διασταυρώνεται και αποδεικνύεται ευθέως πάντοτε ώς αληθές.

Το παραπάνω ολοκλήρωμα γ₁*t είναι περίεργο και αμφίβολο να έχει πάντα την ίδια τιμή 2V/(k +1), και μάλιστα ανεξάρτητη από την αλληλο-απώθηση F, όπως υπαγορεύει η εξίσωση ΚΕ, "διατήρησης της ενέργειας", χωρίς καμία μαθηματική απόδειξη γιά την διατήρηση αυτή καθ' εαυτή. Αν τα  γ₁ , γ₂  με  γ₂  = kγ₁ , με τις αντίστοιχες αλληλοαπωθούμενς δυνάμεις F και -F, αμφότερα αυξηθούν κατά βούληση, έστω κάποια στιγμή, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο αλλάξουν, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα αντίθετα γίνει γ₁*t =V ή  γ₁*t >V, προφανώς η διατήρηση της ενέργειας - εξ. ΚΕ, δεν θα μπορεί να ισχύει !
Π.Χ., αν F γίνει 2F, τότε το γ₁ θα γίνει 2γ₁, το  γ₂ θα γίνει 2γ₂  , το  s₂ θα γίνει 2s₂ ,   (γιά λόγους απλοποίησης επιπλέον υποθέσωμεν F=c=σταθερό γίνει 2F=2c=σταθερό), το t θα γίνει t/2^1/2 γιά το ίδιο S και το γ₁*t θα γίνει 2γ₁*t/2^1/2 γιά το ίδιο S.  Ομοίως αν ο συντελεστής αύξησης από 2 γίνει οσοδήποτε μεγάλος Κ, τότε τουλάχιστον το νέο γ₁΄*t = Κγ₁*t/K^1/2 = Κ^1/2γ₁*t  θα γίνει οσοδήποτε μεγάλο και σίγουρα κάποτε γ₁΄*t = V ή  γ₁΄*t  > V, οπότε η "διατήρηση της ενέργειας", εξ. ΚΕ δεν θα ισχύει, γιατί η εξίσωση αυτή προβλέπει πάντοτε το αντίθετο γ₁΄*t <V.
 

ΕΠΙΛΟΓΟΣ. Είδαμε παραπάνω ότι η παραβίαση της "διατήρησης της ενέργειας" οφείλεται στις λεπτομέρειες της αλληλο-απωθητικής δύναμης F μεταξύ των δύο σωμάτων. Τις λεπτομέρειες αυτές αγνοεί η αρχή της "διατηρήσεως της ενέργειας". Η ύπαρξη μιάς τέτοιας δύναμης μεταξύ δύο σωμάτων είναι πάντοτε ένα γεγονός, μιά και εν γένει, ένα σώμα δεν επιτρέπει σε ένα άλλο να το πλησιάσει περισσότερο από ένα σημείο (της επιφανείας του) και το απωθεί μέχρι απομάκρυνσης.

 

Συνεχίζεται.....

2.  ΙΣΧΎΣ1 / ΙΣΧΥΣ2 = F(V - Int(0,t; γ₁dt))/FInt(0,t; γ₂dt) = (V - Int(0,t; γ₁dt))/Int(0,t; γ₂dt) =

(V/ Int(0,t; γ₂dt)) /  (-Int(0,t; γ₁dt)) / Int(0,t; γ₂dt)) =  V/ Int(0,t; γ₂dt)) - m/M, με γ₂ > ελάχιστο, Int(0,t; γ₂dt) = άπειρο, όταν t άπειρο. Αρα τελικά, ΙΣΧΎΣ1 / ΙΣΧΥΣ2 =  - m/M, και ΙΣΧΎΣ2 - ΙΣΧΥΣ1 > ελαχίστου, και άρα Int(0,t;(ΙΣΧΎΣ2 - ΙΣΧΥΣ1)dt) = πλεόνασμα ενεργείας είναι τελικά μεγαλύτερη κάθε αριθμού.

Ακόμη με  γ₂ τείνοντως στο μηδέν, και Int(0,t; γ₂dt) = πεπερασμένο = λ, έχουμε παρόμοιο αποτέλεσμα, αλλά λίγο πιό σύνθετο: ΙΣΧΎΣ1 / ΙΣΧΥΣ2 =  V/λ - m/M.     
Το "γ₂ > ελάχιστο"  (F=m₂γ₂ = ελαχιστο, Fs > ελαχίστου) λαμβάνεται γιά απλοποίηση των ισχυρισμών εδώ και παρακάτω.

Συνεχίζεται....

ΜΕ ΛΟΓΙΑ: ΔΥΟ ΔΥΝΑΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΥΠΑΡΧΟΥΝ:

Ι. ΤΟ ΣΩΜΑ M ΚΆΠΟΤΕ ΗΡΕΜΕΙ

- Αυτό αποκλίεται από την ίδια την υποτιθέμενη αρχή διατηρησης της ενέργειας. Βλέπε παραπάνω.

II. ΤΟ ΣΩΜΑ Μ ΔΕΝ ΗΡΕΜΕΙ ΠΟΤΕ   
 

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙ.
 

ΤΟ ΣΏΜΑ Μ ΘΑ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΕΤΑΙ ΣΥΝΕΧΩΣ, ΚΑΙ ΘΑ ΧΑΝΕΙ ΣΥΝΕΧΩΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΤΟ ΔΕ ΣΩΜΑ m ΘΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ ΣΥΝΕΧΩΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΕΛΙΚΑ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΑΠΟ ΌΤΙ ΤΟ Μ ΘΑ ΧΑΝΕΙ, ΟΤΑΝ

Η ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΟΥ m ΤΕΛΙΚΑ ΘΑ ΓΙΝΕΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΤΟΥ Μ (αν χρειασθεί τα σώματα θα πλησιάσουν αρκετά, οπότε η άπωσή τους θα αυξηθεί αρκετά έτσι που η ταχύτητα του Μ να επιβραδυνθεί αρκετά, η δε ταχύτητα του m να αυξηθεί αρκετά, βλέπε αρχική υπογραμμισμένη υπόθεση απειρίας της άπωσης ). ΑΡΑ ΤΑ ΣΩΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΑ ΘΑ ΑΠΟΜΑΚΡΎΝΟΝΤΑΙ ΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ, για το παραδειγμά μας με γ₂ > από ένα ελάχιστο.

ΤΕΛΙΚΑ ΚΑΙ ΣΙΓΟΥΡΑ,  Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ m ΚΑΙ ΤΟΥ Μ ΜΑΖΙ ΤΕΛΙΚΑ ΘΑ ΑΥΞΑΝΕΙ, για το παραδειγμά μας με γ₂ > από ένα ελάχιστο., F= m₂γ₂ > από ένα ελάχιστο. Οι λεπτομέρειες της αύξησης εξαρτώνται από τις λεπτομέρειες της F και -F.

COUP DE GRACE
Κατά αρχήν κατά την στιγμή της αλλαγής από Συμπίεση σε Αποσυμπιέσει (σχετική ταχύτης μηδέν, δηλαδή ούτε πλησιάζουν ούτε απομακρύνονται), οι δύο ταχύτητες προφανώς πρέπει να είναι ίσες: V - γ₁t  = γ₂t : (παρατήρηση: ο πολλαπλασιασμός νοείται ο απλός ή ο γενικευμένος - ολοκλήρωμα, όπως κατάλληλα χρειάζεται) καί άρα  η χρονική στιγμή της αλλαγής    t = V /(γ₁+γ₂),
και η κοινή ταχύτητα = γ₂ t = γ₂V /(γ₁+γ₂) = kγ₁V /(γ₁+γ₂) = kV/(k+1) και άρα
V_Σ   = V/(k +1). Βλέπετε προηγούμενη λύση διατήρησης: γ₁*t = 2V/(k +1) =:(εξ' ορισμού τώρα)= (V_Σ   +  V_A), και άρα  V_Σ   =  V_A = V/(k +1) και κατά συνέπεια u_Σ = u_A = kV/(k+1).

Εκείνη την στιγμή τα δύο σώματα έχουν ενέργεια με κοινή ταχύτητα: 1/2Μ(kV/(k+1))²+ 1/2m(kV/(k+1))² = 1/2Μk²V²/(k+1))²(1+ 1/k) =1/2Μk²V²/(k+1))²(k+ 1)/k) = 1/2ΜkV²/(k+1).

Αρα εκείνη την στιγμή το έλλειμμα ενέργειας  ή η δυναμική ενέργεια, όπως συνηθίζεται να λέγεται, θα είναι η διαφορά της αρχικής ενεργείας και τής παραπάνω:

1/2ΜV² - 1/2ΜkV²/(k+1) =1/2ΜV²(1 - k/(k+1) ) = 1/2ΜV²/(k+1).

Τώρα μπορούν να ειπωθούν διάφορα σενάρια, πχ:

1. Η άπωση υπάρχει όσο πλησιάζει το ένα το άλλο, διαφορετικά μηδενίζεται. Τότε θα έχει χαθεί ενέργεια ίση με 1/2ΜV²/(k+1).

2. Η δύναμις F εναντιώνεται στην αύξηση ή ελάττωση της απόστασης, οπότε, από εδώ και εμπρός η άπωση θα γίνει έλξη......κλπ.
 

3. Γενικά, ότι η άπωση συνεχίζεται ? σταθερά επ' αόριστο? σταθερά για ένα χρονικό διάστημα?  αυξανόμενη (πώς)_? μειούμενη (πώς) ? ( γιά ένα χρονικό διάστημα (πόσο) ? όσο χρειάζεται το έλλειμμα ή αυτό που λέμε δυναμική ενέργεια να γίνει μηδέν ? γίνει πιό μεγάλο από το μηδέν ? γίνει άπειρο ? γίνει το μισό ? γίνει Ν φορές, όπου Ν εμείς αυθαίρετα αποφασίσουμε, θετικό, αρνητικό, αριθμό, μηδέν, ακέραιο, σύμμετρο. ασύμμετρο, υπερβατικό, αλγεβρικό, (αρκεί να αποφασίσουμε τι θέλουμε, λύσουμε την εξίσωση της κατάλληλης επιθυμίας μας κρυφά ή φανερά και εκείνη θα μας δώσει την λύση της επιθυμίας μας, που θα επαληθεύσουμε με καμάρι σε τρίτους, πχ, πειθαρχίας ή απειθαρχίας  γιά την διατήρηση της ενέργειας !

Συλλογισμοί  πολλοστώς ελέχθησαν.
Πραξεις επαληθεύθησαν κατά επανάληψη.

Συνεχίζεται....

Μία γενική αρχή ανατρέπεται τουλάχιστον διά ενός παραδείγματος.
Μία θεωρία ανατρέπεται διά της ανατροπής μιάς τουλάχιστον  γενικής της αρχής.  

Καθηγητής Παναγιώτης Παππάς 

ΑΘΗΝΑ 2008